初めての事でどうしたらいいのかわからないので、教えてください。
先日タクシーに乗っていて、運転手がなぜかハンドルを切り、勢いよく階段を下りるという不思議な事故に遭いました。
振動で体が浮くような感覚があったのですが、その時はわたしも運転手も特に怪我はありませんでした。
運転手から、「後はこっちでやっておきますから」と言われ、予定があったので運賃を払い、その場を去りました。
ところがその後、どうにも腰が痛く、原因と思われるのはあのタクシーしか思い当りません。
運転手の連絡先を控えていたので、すぐに連絡がとれました。今思えばこの時、タクシー会社に連絡すればよかったのですが、運転手の主張としては・・・

・保険会社を通すと下手すれば免停になり仕事ができなくなってしまう
・診断書を取ってもらい、自分が慰謝料とお見舞金を払う形にしてほしい
・単独で処理する形にしたいので会社には言わないでほしい

と、いうものです。口約束の状態なので、本当にお金を払ってくれるのか心配です。運転手の言い分もわかりますが、やはりタクシー会社に連絡をするべきでしょうか？また、このようなケースの事故でも損害賠償請求はできるでしょうか？